01｜2025-03-L5-SC-05

学生训练答案：D

原卷事实

四项均给出乘积分解。

必要假设

要求因子全部为质数。

C++11 / 算法语义

只有2、3、5均为质数且乘积为30。

命题预期

选择D。

推导结论

训练答案D。

02｜2025-06-L5-TF-01

学生训练答案：T

原卷事实

代码循环执行a%b并交换角色。

必要假设

a、b为正整数。

C++11 / 算法语义

无论初始a与b大小，余数递减并最终在b==0时返回最大公约数。

命题预期

判断为真。

推导结论

学生训练答案T。

03｜2025-06-L5-SC-08

学生训练答案：B

原卷事实

题目询问唯一分解定理。

必要假设

唯一性忽略质因数排列顺序。

C++11 / 算法语义

每个大于1的整数都可唯一分解为质数乘积；对合数的B表述成立。

命题预期

选择B。

推导结论

学生训练答案B。

04｜2025-12-L5-SC-04

学生训练答案：D

原卷事实

a-b=24。

必要假设

模数m取正整数。

C++11 / 算法语义

a与b模m同余等价于m整除24。

命题预期

3、4、6均整除24，9不整除。

推导结论

训练答案D。

05｜2025-12-L5-SC-05

学生训练答案：D

原卷事实

gcd1递归，gcd2循环。

必要假设

比较相同有效输入和普通实现开销。

C++11 / 算法语义

两者渐近时间相同，递归还使用调用栈，不能据此保证更高效率。

命题预期

D是错误说法。

推导结论

训练答案D。

06｜2025-12-L5-SC-06

学生训练答案：B

原卷事实

题目询问算术基本定理。

必要假设

不计质因数排列次序。

C++11 / 算法语义

大于1的整数具有唯一的质因数分解。

命题预期

选择B。

推导结论

训练答案B。

07｜2026-03-L5-SC-04

学生训练答案：A

原卷事实

每次递归参数变为(b,a%b)。

必要假设

正整数输入。

C++11 / 算法语义

48%18=12，18%12=6，12%6=0。

命题预期

A给出完整调用序列。

推导结论

训练答案A。

08｜2025-03-L5-TF-03

学生训练答案：T

原卷事实

题目比较线性筛与埃氏筛。

必要假设

按标准线性筛实现。

C++11 / 算法语义

线性筛通过最小质因数约束使每个合数只被生成一次，总复杂度O(n)。

命题预期

判断为真。

推导结论

训练答案T。

09｜2025-03-L5-SC-04

学生训练答案：B

原卷事实

代码先令big=84、small=60，再递归gcd(60,24)。

必要假设

把初始参数对视为第一步，第一次递归参数对视为第二步。

C++11 / 算法语义

84 mod 60=24，所以第二层参数为60和24。

命题预期

官方以递归参数对计步。

推导结论

训练答案B；解析显著说明计步约定。

10｜2025-06-L5-TF-02

学生训练答案：T

原卷事实

函数返回a*b/gcd(a,b)，官方答案T。

必要假设

a*b在int中可表示，gcd非零。

C++11 / 算法语义

对正整数，lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)；但先乘后除在int溢出时行为未定义。

命题预期

命题预期忽略溢出边界判断为真。

推导结论

学生训练答案T；显著标注乘积可表示的必要前提。

11｜2025-06-L5-TF-03

学生训练答案：F

原卷事实

代码试图把整数j加入vector<int>，写成prime_factor[i] = prime_factor[i] + j。

必要假设

按原卷代码逐字解释。

C++11 / 算法语义

标准vector<int>没有与int相加的operator+，代码不能通过C++11编译，因而不能产生题述输出。

命题预期

判断为假。

推导结论

学生训练答案F。

12｜2025-06-L5-SC-06

学生训练答案：D

原卷事实

gcd0使用辗转相除，gcd1从small向下枚举公因数。

必要假设

两个输入为正整数。

C++11 / 算法语义

欧几里得算法为对数级，逆序枚举最坏线性；若把循环改为i>1，互质时会漏掉公约数1并仍靠末尾return 1，输出虽未变但“应该修改”不成立。

命题预期

错误说法D。

推导结论

学生训练答案D。

13｜2025-06-L5-SC-07

学生训练答案：D

原卷事实

题目把逐数试除与两种筛法比较。

必要假设

按标准埃氏筛和线性筛实现。

C++11 / 算法语义

逐数试除有重复工作；埃氏筛和线性筛更适合生成区间素数。线性筛为O(n)，不能笼统说埃氏筛比线性筛效率更高。

命题预期

错误说法D。

推导结论

学生训练答案D。

14｜2025-09-L5-TF-01

学生训练答案：T

原卷事实

代码对n和其十进制字符串数位和分别取模9。

必要假设

按非负十进制整数，to_string中无负号。

C++11 / 算法语义

非负n与n的数位和对9同余，两个判定一致；负数字符串需额外处理'-'。

命题预期

命题预期T。

推导结论

训练答案T；解析显示非负假设。

15｜2025-09-L5-TF-02

学生训练答案：F

原卷事实

原卷函数声明为void，代码写return patternLength，且卷面行末显示全角分号。

必要假设

不静默修正返回类型或标点。

C++11 / 算法语义

该代码不是合法C++11函数；即使改为int并修正分号，表达式返回lcm(4,6)=12，不是2。

命题预期

判断为F。

推导结论

训练答案F，原卷代码完整保真。

16｜2025-09-L5-SC-05

学生训练答案：B

原卷事实

循环执行辗转相除。

必要假设

输入为正整数。

C++11 / 算法语义

终止时b==0，a保存gcd。

命题预期

选择B。

推导结论

训练答案B。

17｜2025-09-L5-TF-06

学生训练答案：T

原卷事实

题目给出每个合数只由最小质因子筛一次的不变式。

必要假设

按标准线性筛实现。

C++11 / 算法语义

每个合数仅生成一次，总复杂度O(n)。

命题预期

判断为T。

推导结论

训练答案T。

18｜2025-09-L5-SC-08

学生训练答案：B

原卷事实

题目比较理论复杂度与常数表现。

必要假设

按常见数组实现与给定范围。

C++11 / 算法语义

线性复杂度不直接推出实测必然更快；埃氏筛常数可更小。

命题预期

错误项B。

推导结论

训练答案B。

19｜2025-09-L5-SC-09

学生训练答案：B

原卷事实

题目询问唯一分解定理。

必要假设

按正整数范围。

C++11 / 算法语义

每个大于1的整数可唯一分解为素数幂之积，忽略因子顺序。

命题预期

选择B。

推导结论

训练答案B。

20｜2025-12-L5-TF-02

学生训练答案：T

原卷事实

代码返回a/gcd(a,b)*b。

必要假设

a、b为正且中间结果与最小公倍数均可由int表示。

C++11 / 算法语义

先除后乘在数学上等于a*b/gcd，能减少但不能消除溢出风险。

命题预期

命题在常规可表示输入范围取真。

推导结论

训练答案T；解析显著列出int可表示前提。

21｜2025-12-L5-TF-04

学生训练答案：F

原卷事实

题面用“都应当优先”作绝对判断。

必要假设

比较标准实现。

C++11 / 算法语义

渐近界较低不等于在所有规模、常数、内存与实现条件下都优先。

命题预期

绝对化结论为假。

推导结论

训练答案F。

22｜2026-03-L5-SC-05

学生训练答案：C

原卷事实

内层访问primes[j]。

必要假设

j必须始终小于primes.size()。

C++11 / 算法语义

标准线性筛遍历已有素数并按最小质因数停止。

命题预期

选择C。

推导结论

训练答案C。

23｜2026-03-L5-SC-06

学生训练答案：C

原卷事实

i为当前未筛除质数。

必要假设

(long long)i*i可表示。

C++11 / 算法语义

i*k且k<i的倍数已在处理更小质因子时标记。

命题预期

选择C。

推导结论

训练答案C。

24｜2026-03-L5-TF-06

学生训练答案：T

原卷事实

题面限定n>1。

必要假设

平方根按实数边界。

C++11 / 算法语义

若n合数，则至少有一个质因子不超过sqrt(n)；其逆否命题成立。

命题预期

判断为真。

推导结论

训练答案T。

25｜2026-03-L5-TF-09

学生训练答案：F

原卷事实

题面把唯一标记者写为最大质因子。

必要假设

按标准欧拉筛。

C++11 / 算法语义

线性筛使每个合数由其最小质因数路径标记一次，不是最大质因子。

命题预期

判断为假。

推导结论

训练答案F。

26｜2026-06-L5-TF-03

学生训练答案：T

原卷事实

两函数都执行欧几里得算法。

必要假设

a、b为正整数。

C++11 / 算法语义

递归版与循环版均迭代(a,b)->(b,a%b)直至b=0。

命题预期

判断为T。

推导结论

训练答案T。

27｜2026-06-L5-SC-04

学生训练答案：B

原卷事实

代码递归为gcd(b,a%b)。

必要假设

输入为105和45。

C++11 / 算法语义

105%45=15，45%15=0。

命题预期

选项B。

推导结论

训练答案B。

28｜2026-06-L5-SC-06

学生训练答案：B

原卷事实

题目询问埃氏筛基本过程。

必要假设

按标准埃氏筛。

C++11 / 算法语义

从素数出发标记其倍数；同一合数可能被多次遇到。

命题预期

选项B。

推导结论

训练答案B。

29｜2026-06-L5-SC-08

学生训练答案：C

原卷事实

循环在n能被2整除时计数并除以2。

必要假设

n初值40。

C++11 / 算法语义

40=2³×5，循环三次。

命题预期

选项C。

推导结论

训练答案C。

30｜2026-06-L5-TF-09

学生训练答案：T

原卷事实

题目陈述唯一分解定理。

必要假设

自然数大于1且忽略质因子顺序。

C++11 / 算法语义

质因数分解存在且唯一。

命题预期

判断为T。

推导结论

训练答案T。

31｜2025-03-L5-SC-06

学生训练答案：C

原卷事实

内层循环访问primes[j]并标记i*primes[j]。

必要假设

n为非负且容器按代码初始化。

C++11 / 算法语义

必须先保证j未越界，再保证乘积不超过n；&&从左到右短路。

命题预期

C同时满足两个边界。

推导结论

训练答案C。

32｜2025-06-L5-SC-05

学生训练答案：C

原卷事实

代码先特判2、3、5，再排除2、3、5的倍数，并按7、11、13、17等序列试除。

必要假设

输入为题干所述正整数，sqrt可用。

C++11 / 算法语义

大于3的质数必为6k±1；只需检查不超过sqrt(n)的可能质因数。D改为逐一试除虽可判定，但执行时间不同。

命题预期

选择C。

推导结论

学生训练答案C。

33｜2025-06-L5-TF-10

学生训练答案：T

原卷事实

代码按primes递增枚举并在i%primes[j]==0时break。

必要假设

n使i*primes[j]可在int中表示，容器分配成功。

C++11 / 算法语义

break保证每个合数由最小质因数对应的组合首次筛去，总工作量线性。若乘积溢出则标准不保证。

命题预期

命题预期判断为真。

推导结论

学生训练答案T；显著标注乘积可表示的输入前提。

34｜2025-09-L5-SC-04

学生训练答案：B

原卷事实

代码按因子对累加真因子。

必要假设

命题默认i*i在int可表示范围内。

C++11 / 算法语义

枚举到sqrt(n)即可；i*i在超出int时会涉及有符号溢出。

命题预期

命题预期B。

推导结论

训练答案B；解析保留输入边界假设。

35｜2025-09-L5-SC-06

学生训练答案：D

原卷事实

外层遍历i，内层标记i的倍数。

必要假设

命题默认i*i与n+1均未发生int溢出。

C++11 / 算法语义

小于i*i的i倍数已由更小因子标记，可从i*i开始；超范围时应用更安全边界。

命题预期

命题预期D。

推导结论

训练答案D；解析明示整型边界假设。

36｜2025-09-L5-SC-07

学生训练答案：A

原卷事实

代码用已知素数p标记p*i。

必要假设

输入n在乘法安全范围。

C++11 / 算法语义

当p整除i时停止，保证合数由最小质因子生成一次。

命题预期

选择A。

推导结论

训练答案A。

37｜2025-12-L5-SC-07

学生训练答案：A

原卷事实

内层应从primes[0]起并在乘积超过n时停止。

必要假设

i*primes[j]在int中可表示，且n至少为2。

C++11 / 算法语义

结合整除时break，每个合数由最小质因数路径标记。

命题预期

A给出标准线性筛边界。

推导结论

训练答案A；解析提示乘积可表示前提。

38｜2026-06-L5-SC-05

学生训练答案：A

原卷事实

代码以primes[j]*i标记合数。

必要假设

n与乘法在int安全范围。

C++11 / 算法语义

当primes[j]整除i时停止，保证每个合数只由最小质因子筛到。

命题预期

选项A。

推导结论

训练答案A。